เลข 4 ตัวกลับมีกี่ชุดเมื่อมีเลขซ้ำ คิดอย่างไรให้ไม่ซ้ำ

ถ้ากำลังสงสัยว่า เลข 4 ตัวกลับมีกี่ชุดเมื่อมีเลขซ้ำ คำตอบขึ้นอยู่กับว่าเลขทั้งสี่ตัวซ้ำกันแบบใด เพราะการสลับเลขที่เหมือนกันไม่ได้ทำให้เกิดลำดับใหม่เสมอไป วิธีนับที่แม่นยำคือหาจำนวนการเรียงทั้งหมดก่อน แล้วตัดกรณีที่นับซ้ำออกด้วยสูตรแฟกทอเรียล

ก่อนเริ่ม ควรแยกให้ชัดว่ากำลังนับ “รหัสหรือลำดับ 4 ตำแหน่ง” หรือ “จำนวนเต็ม 4 หลัก” โดยเฉพาะเมื่อมีเลขศูนย์ เพราะเงื่อนไขเรื่องเลขตัวแรกทำให้จำนวนชุดที่นับได้ต่างกัน

ความหมายของการกลับเลข 4 ตัว

การกลับเลขคือการนำเลขสี่ตัวเดิมมาสลับตำแหน่งกัน โดยไม่เพิ่มหรือตัดเลขตัวใดออก ตัวอย่างเช่น เมื่อเริ่มจาก 1123 ทุกลำดับที่นับได้ต้องประกอบด้วยเลข 1 สองตัว เลข 2 หนึ่งตัว และเลข 3 หนึ่งตัวเหมือนเดิม

สิ่งที่เปลี่ยนคือ “ลำดับ” ไม่ใช่จำนวนครั้งที่เลขแต่ละตัวปรากฏ เช่น 1123, 1132 และ 1213 ถือเป็นคนละลำดับ เพราะเลขอยู่คนละตำแหน่ง แต่การสลับเลข 1 สองตัวใน 1123 จะได้หน้าตาเหมือนเดิม จึงไม่นับเป็นชุดใหม่

หลักเดียวกันนี้ใช้กับเลขซ้ำรูปแบบอื่นด้วย หากสลับเลขที่เหมือนกันแล้วได้ลำดับเดิม ต้องนับเพียงครั้งเดียว หากสนใจตัวอย่างการนับเลขซ้ำในรูปแบบสองหลัก สามารถอ่านเรื่อง การนับเลขเบิ้ลตั้งแต่ 00 ถึง 99 เพื่อดูว่าการซ้ำมีผลต่อการนับอย่างไร

สูตรนับชุดเมื่อมีเลขซ้ำ

เริ่มจากคิดก่อนว่าเลข 4 ตำแหน่งที่ไม่ซ้ำกันเลยสลับได้กี่แบบ จำนวนการเรียงทั้งหมดคือ 4! หรือ 4 × 3 × 2 × 1 ซึ่งเท่ากับ 24 แบบ

เมื่อมีเลขซ้ำ การนำเลขที่เหมือนกันมาสลับกันจะสร้างลำดับหน้าตาเหมือนเดิมหลายครั้ง จึงต้องหารจำนวน 24 ด้วยแฟกทอเรียลของจำนวนเลขซ้ำในแต่ละกลุ่ม สูตรทั่วไปเขียนได้ดังนี้

จำนวนลำดับที่ไม่ซ้ำ = 4! ÷ (จำนวนเลขซ้ำกลุ่มที่ 1)! ÷ (จำนวนเลขซ้ำกลุ่มที่ 2)! ÷ …

ตัวอย่างเช่น ถ้ามีเลขซ้ำสองตัวหนึ่งกลุ่ม ให้หารด้วย 2! หากมีเลขซ้ำสองกลุ่ม กลุ่มละสองตัว ก็ต้องหารด้วย 2! ของทั้งสองกลุ่ม วิธีนี้ช่วยตัดลำดับซ้ำออกจากจำนวนการเรียงทั้งหมด โดยไม่ต้องไล่เขียนทุกแบบตั้งแต่ต้น

เครื่องหมาย ! หมายถึงแฟกทอเรียล เช่น 2! = 2 × 1 และ 3! = 3 × 2 × 1 ส่วน 4! เท่ากับ 24 ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น การหารจะใช้ตามจำนวนตัวที่ซ้ำจริง ไม่ใช่จำนวนหลักทั้งหมด เช่น 1122 มีเลข 1 ซ้ำสองตัวและเลข 2 ซ้ำสองตัว จึงมีตัวหารสองกลุ่ม

ตัวอย่างจำนวนชุดตามรูปแบบเลขซ้ำ

จำนวนชุดของเลข 4 ตัวขึ้นอยู่กับรูปแบบการซ้ำ ตัวอย่างที่พบบ่อยมีดังนี้

• เลขไม่ซ้ำทั้ง 4 ตัว เช่น 1234: ไม่มีเลขซ้ำให้ตัดออก จึงนับได้ 4! = 24 ชุด
• มีเลขซ้ำหนึ่งคู่ เช่น 1123: เลข 1 ซ้ำสองตัว ใช้ 4! ÷ 2! = 12 ชุด
• มีเลขซ้ำสองคู่ เช่น 1122: เลข 1 และเลข 2 ต่างซ้ำอย่างละสองตัว ใช้ 4! ÷ (2! × 2!) = 6 ชุด
• เลขตอง เช่น 1112: เลข 1 ซ้ำสามตัว ใช้ 4! ÷ 3! = 4 ชุด
• เลขเหมือนกันทั้งสี่ตัว เช่น 1111: ใช้ 4! ÷ 4! = 1 ชุด

จุดที่ควรสังเกตคือเลขตองไม่ได้แปลว่ามีเพียงลำดับเดียว เพราะเลขตัวที่ไม่ซ้ำยังสามารถย้ายไปอยู่ได้หลายตำแหน่ง เช่น 1112, 1121, 1211 และ 2111 รวมเป็น 4 ชุด

หากต้องการทำความเข้าใจการไล่ตำแหน่งในโจทย์ที่มีสามหลักและเลขซ้ำ อาจดูตัวอย่างในบทความ วิธีนับชุดเลขเรียง 3 ตัวและแยกกรณีเลขตอง หลักคิดเรื่องการนับลำดับที่ไม่ซ้ำใช้ได้คล้ายกัน แต่ต้องคำนวณตามจำนวนหลักของโจทย์นั้น

วิธีไล่ชุดกลับด้วยมือโดยไม่ตกหล่น

การเขียนรายการเองเหมาะกับการตรวจคำตอบหรือทำความเข้าใจว่าแต่ละชุดมาจากไหน วิธีหนึ่งคือจัดกลุ่มตามตำแหน่งของเลขที่ซ้ำก่อน แล้วสลับเลขที่เหลือภายในกลุ่มนั้น วิธีนี้ช่วยไม่ให้เขียนลำดับเดิมซ้ำหรือข้ามบางตำแหน่งไป

ลองใช้ 1123 ซึ่งมีเลข 1 ซ้ำสองตัว แบ่งตามเลขตัวแรกได้ดังนี้

• ขึ้นต้นด้วย 1: 1123, 1132, 1213, 1231, 1312, 1321 รวม 6 ลำดับ
• ขึ้นต้นด้วย 2: 2113, 2131, 2311 รวม 3 ลำดับ
• ขึ้นต้นด้วย 3: 3112, 3121, 3211 รวม 3 ลำดับ

รวมทั้งหมด 6 + 3 + 3 = 12 ลำดับ ตรงกับผลจากสูตร 4! ÷ 2! = 12 การแบ่งตามเลขตัวแรกทำให้เห็นว่าตำแหน่งของเลขซ้ำถูกนับครบ โดยไม่ต้องเดาว่ามีแบบใดตกหล่นหรือไม่

เมื่อไล่รายการด้วยมือ ให้ตรวจว่าแต่ละลำดับใช้เลขครบตามต้นฉบับ เช่น ในกรณี 1123 ทุกชุดต้องมีเลข 1 สองตัว และเลข 2 กับ 3 อย่างละหนึ่งตัว จากนั้นตรวจรายการซ้ำ แล้วเทียบจำนวนสุดท้ายกับผลจากสูตร หากจำนวนไม่ตรงกัน ให้เช็กว่ามีชุดซ้ำหรือจัดตำแหน่งใดตกไป

กรณีมีเลขศูนย์นำหน้าต้องแยกวิธีนับ

หากโจทย์มองตัวเลขเป็นรหัสหรือเป็นลำดับ 4 ตำแหน่ง เลขศูนย์อยู่ตำแหน่งแรกได้ เช่น 0123 ยังถือเป็นลำดับที่มีครบสี่ตำแหน่ง ภายใต้เงื่อนไขนี้ เลข 0, 1, 2 และ 3 ไม่ซ้ำกัน จึงเรียงได้ 4! = 24 ลำดับ

แต่ถ้าโจทย์ถามจำนวนเต็ม 4 หลัก จะไม่นับลำดับที่ขึ้นต้นด้วยศูนย์ เพราะ 0123 ไม่ใช่จำนวนเต็มสี่หลัก เมื่อตัดกรณีที่ศูนย์อยู่ตัวแรกออก จะเหลือ 18 จำนวนเต็ม 4 หลัก วิธีคิดคือมีลำดับที่ขึ้นต้นด้วย 0 อยู่ 3! = 6 แบบ จากทั้งหมด 24 แบบ ดังนั้น 24 − 6 = 18

ก่อนเริ่มคำนวณ จึงควรอ่านเงื่อนไขให้ชัดว่าโจทย์นับเป็น “รหัสสี่ตำแหน่ง” หรือ “จำนวนเต็มสี่หลัก” เพราะตัวเลขชุดเดียวกันให้คำตอบต่างกันได้เมื่อกติกาเรื่องศูนย์นำหน้าไม่เหมือนกัน

สรุป: นับเลขซ้ำก่อนเลือกสูตร

ให้นับก่อนว่าเลขแต่ละตัวปรากฏกี่ครั้ง แล้วนำจำนวนครั้งที่ซ้ำไปแทนในสูตร 4! หารด้วยแฟกทอเรียลของแต่ละกลุ่มเลขซ้ำ จากนั้นตรวจว่ามีเลขศูนย์หรือไม่ และโจทย์อนุญาตให้ขึ้นต้นด้วยศูนย์หรือเปล่า

จำจำนวนที่พบบ่อยได้ว่า เลขซ้ำหนึ่งคู่มี 12 ชุด เลขซ้ำสองคู่มี 6 ชุด เลขตองมี 4 ชุด และเลขเหมือนกันทั้งสี่ตัวมี 1 ชุด หากไล่รายการด้วยมือ ให้ใช้สูตรตรวจทานอีกครั้ง เพื่อให้มั่นใจว่าไม่นับลำดับซ้ำและไม่ตกหล่นชุดใดไป